Epluchez les pommes de terre, lavez-les puis faites-les cuire dans de l'eau salée pendant 20 minutes à partir de l'ébullition.
Egouttez-les, ajoutez le beurre puis écrasez-les à la fourchette en ajoutant petit à petit le lait puis aromatisez de quelques râpures de muscade.
Epluchez l'oignon, émincez-le finement et faites-le revenir dans l'huile à feu doux.
Epluchez et découpez la carotte en très petits dés, ajoutez-les à l'oignon, couvrez et laissez mijoter à feu doux pendant 10 minutes.
Ajoutez 1 feuille de laurier, 1 branche de thym, salez, poivrez, incorporez le boeuf haché et mélangez.
Dans un plat à gratin, déposez une couche de purée, une couche de mélange au boeuf puis terminez par une couche de purée.
Faites gratiner le hachis Parmentier au four avant de le servir bien chaud.